Did Moshe Daven for Korach and his people to do Teshuvah?

Avraham Avinu davened for the people of Sedom!
Yitzchak davened for Avimelech!
Moshe davened for Klall Yisroel every-time they sinned against Hashem!

Rabbi Meir davened that the Beryoni should do Teshuvah! [Berachos 10a]

הנהו בריוני דהוו בשבבותיה דרבי מאיר והוו קא מצערו ליה טובא, הוה קא בעי רבי מאיר רחמי עלויהו כי היכי דלימותו. אמרה ליה ברוריא דביתהו: מאי דעתך? - משום דכתיב: +תהלים ק"ד+ יתמו חטאים, מי כתיב חוטאים? חטאים כתיב! ועוד, שפיל לסיפיה דקרא: ורשעים עוד אינם, כיון דיתמו חטאים - ורשעים עוד אינם? אלא, בעי רחמי עלויהו דלהדרו בתשובה - ורשעים עוד אינם. בעא רחמי עלויהו והדרו בתשובה.

Why did Moshe not daven for Korach and his people to do Teshuvah?

Rabeinu Bachyeh:

אבל יש לשאול ולתמוה תימה גדול בענין פרשה זאת על שני דברים: האחד, משה שהיה רועה נאמן שהתפלל על ישראל כמה פעמים על כמה עבירות שעשו, כענין מעשה העגל וחטא המרגלים וזולתם, איך לא התפלל עליהם בכאן ואיך לא היה מחזירן למוטב, והרי התשובה עולה על הכל, ואין לך עבירה בכל התורה כלה חמורה שבחמורות שלא תהא לה תקנה בתשובה, והלא ימינו פשוטה לקבל שבים ואפילו אל המורדים והפושעים בו, ואם היו מסופקים בדברי משה והיתה מחשבתם בו שהיה מחלק מנויי המעלות והשררות כרצונו, ולא מאת ה' יתעלה היתה לו, היה אפשר למשה לתת להם אות שיאמינו בדבריו כי פקחים וחכמים גדולים היו, ומתוך האות ההוא היה מתברר אצלם כי אהרן הוא הקדוש הנבחר למעלה הכהונה, והוא הדין שיאמינו בשאר מנויי המעלות שהכל נאמר לו מפי הגבורה ואין משה בודא אותה מלבו. ועוד אם חטאו ומרדו בה' ובמשה עבדו והם המסבבים לעצמן כל העונש הזה, מה חטאו הקטנים המוטלים בעריסה שהיו בכלל העונש הזה, כענין שכתוב: "נשיהם ובניהם וטפם", והטף מתי חטאו, והשם צדיק לא יעשה עולה

One possible approach that does not fully answer the issue, yet may be a start is:

Dovid haMelech said Hallel on the death of the wicked:

Berachos 9b:

דאמר רבי יהודה בריה דרבי שמעון בן פזי: מאה ושלש פרשיות אמר דוד, ולא אמר הללויה עד שראה במפלתן של רשעים, שנאמר: +תהלים ק"ד+ יתמו חטאים מן הארץ ורשעים עוד אינם ברכי נפשי את ה' הללויה. הני מאה ושלש, מאה וארבע הויין! אלא שמע מינה: אשרי האיש ולמה רגשו גוים חדא פרשה היא

This Gemara implies that Dovid haMelech expressed Hallel on the downfall of the Reshaim

Part II.

How does this fit into no celebrating the demise of our enemies?

יז) בִּנְפֹל אויביך אוֹיִבְךָ אַל תִּשְׂמָח וּבִכָּשְׁלוֹ אַל יָגֵל לִבֶּךָ:
[Perhaps this verse is specific to enemies;
while Hallel on the downfall of the wicked
is celebrating the downfall of those who hated Hashem].

[This is a weak approach because a number of sources indicate that people who hate kllal yisroel are considered to be haters of G-d]

Rav Matisyahu Solomon quoted a vort in the name of the rebbe of the Ramban:

Although we daven Vilamlshinim etc for the downfall of our enemy, it is only after we daven for the to do teshuvah in Hashiveni avinu liToraseicha...

Shavuos - The Holidays - A Framework of Thanksgiving and Prayer

Sforno Leviticus 23:10

אבל בשאר המועדות ייחד לכל מועד דבור לעצמו והתחיל דבור חג השבועות מן העומר כי מאז מתחיל קציר בעומר וספירת השבועות שהם מענין החג הנקרא חג קציר וחג השבועות שבו נתן הודאה לאל יתברך כי אמנם מכוונות הרגלים הם התפלה וההודאה כמו במועד חדש האביב התפלה לאל על האביב וההודאה על החירות. ובהיות כי הצלחת הקציר תהיה כפי מזג הזמן מתחלת האביב עד הקציר כאמרו שבועות חקות קציר ששמר לנו היה העומר הודאה על האביב כמקריב ביכורי השדה לבעלים והיה הקרבן עמו לתפלה על העתיד והיתה הספירה זכרון לתפלת יום יום והיה חג הקציר הודאה על טוב הקציר וחג האסיף על טוב האסיף

The Holidays are about thanking Hashem for the past successes and praying for future achievement.

Shavuos celebrates the splendor of the spring harvest. The Sacrifice that comes with it is a prayer, a plea, for future successes.

The Omer - the counting of the Omer - is a process which reminds us to pray each day for success.

Financial Consideration - Opportunities for Teshuvah

לו) וְצִוָּה הַכֹּהֵן וּפִנּוּ אֶת הַבַּיִת בְּטֶרֶם יָבֹא הַכֹּהֵן לִרְאוֹת אֶת הַנֶּגַע וְלֹא יִטְמָא כָּל אֲשֶׁר בַּבָּיִת וְאַחַר כֵּן יָבֹא הַכֹּהֵן לִרְאוֹת אֶת הַבָּיִת:
36. the kohen shall order that they clear out the house, before the kohen comes to look at the lesion, so that everything in the house should not become unclean.
After this, the kohen shall come to look at the house.

Rashi understands that the reason to remove everything from the house is to save the afflicted from losing financially:

לו) בטרם יבא הכהן וגו' - שכל זמן שאין כהן נזקק לו, אין שם תורת טומאה:

ולא יטמא כל אשר בבית - שאם לא יפנהו ויבא הכהן ויראה הנגע, נזקק להסגר, וכל מה שבתוכו יטמא. ועל מה חסה תורה, אם על כלי שטף, יטבילם ויטהרו, ואם על אוכלין ומשקין, יאכלם בימי טומאתו, הא לא חסה התורה אלא על כלי חרס, שאין להם טהרה במקוה

Sforno adds:

ופנו את הבית בטרם יבא. ולא יבא קודם לכן ובין כך יהיה זמן תשובה ותפלה לבעלים וזמן תפלה לכהן, ועם זה נתן זמן הסגר.

The person with the afflicted home should not approach the Kohen until he has cleaned out his home. The interim time is meant to be used for both Teshuvah and Tefila, on both the person's part as well as the Kohen's part.

Why is the Koshen praying?