Ticheiles... Sea - Sky - Throne...

Gemrah Chulin 88b-89a:

אמר רבא: בשכר שאמר אברהם אבינו+בראשית י"ד+ אם מחוט ועד שרוך נעל, זכו בניו לשתי מצות - לחוט של תכלת ורצועה של תפילין.

בשלמא רצועה של תפילין, כתיב: +דברים כ"ח+ וראו כל עמי הארץ כי שם ה' נקרא עליך, ותניא, ר' אליעזר הגדול אומר: אלו תפילין שבראש:
אלא, חוט של תכלת מאי היא? דתניא, רבי מאיר אומר: מה נשתנה תכלת מכל הצבעונין - מפני שתכלת דומה לים, וים דומה לרקיע, ורקיע דומה לאבן ספיר, ואבן ספיר דומה לכסא הכבוד, דכתיב +שמות כ"ד+ ויראו את אלהי ישראל ותחת רגליו וגו', וכתיב +יחזקאל א'+ כמראה אבן ספיר דמות כסא,

Rashi - explains the connection between us and Hashem that is achieved via the color of the Ticheiles strings

שהתכלת דומה לים - שהחלזון מן הים הוא עולה אחת לשבעים שנה ומראית דמו דומה לים וים אנו רואין שדומה לרקיע ורקיע לספיר וספיר לכסא הכבוד דכתיב ותחת רגליו כמעשה לבנת הספיר והוא כעצם השמים אלמא שמים דומין לספיר וספיר הוא כסא הכבוד דכתיב כמראה אבן ספיר דמות כסא וכשהקב"ה מסתכל בכסא הכבוד שלו נזכר במצוה זו שהיא כנגד כל המצות

Mahrsha elaborates [akin to Nefesh haChaim Torah]

מפני שתכלת דומה לים כו'. יראה שרמז בזה קישור שלש עולמות זה בזה מלמטה למעלה ברצון הש"י והוא שאמר הים שהוא כלל עולם התחתון כפי טבע הבריאה שהיה העולם כולו מים במים עד מאמר יקוו המים והנה הוא מתדמה ומתקשר ברקיע שהוא עולם האמצעי ורקיע שהוא כלל עולם האמצעי הוא מתדמה ומתקשר בעולם המלאכים הדומים לאבן הספיר כי המה ספיריים בזכותם ובצורתם ואבן הספיר שהוא עולם המלאכים הוא מתדמה ומתקשר בכסא כבודו יתעלה

והוא שאמר במצות תכלת וראיתם אותו וזכרתם וגו' ולא תתורו אחרי לבבכם וגו'
לעשות ח"ו פירוד בקישור הג' עולמות שזכרנו ודו"ק

This particular approach seems to be that there is a certain pleasure indicated by the Gemara in the giving of the Mitzvah of Tichelis to Avrahm's children.
It is beneficial to us as it affects Hashem.

Ramban in Chumash and the gemara in Menachos states that the blue reminds us to focus our actions lisheim shamaim.

Menachos 43b
תניא, היה ר' מאיר אומר: מה נשתנה תכלת מכל מיני צבעונין? מפני שהתכלת דומה לים וים דומה לרקיע ורקיע לכסא הכבוד, שנאמר: +שמות כ"ד+ ותחת רגליו כמעשה לבנת הספיר וכעצם השמים לטהר, וכתיב: +יחזקאל א'+ כמראה אבן ספיר דמות כסא


Rashi Menachos
מה נשתנה תכלת - שיחדו הקב"ה למצוה זו.

Why did Hashem single out Ticheiles for the Mitzvah of tzizis?
Why not any other color if He wanted a multicolored scheme?

דומה לים - שנעשו בו נסים לישראל

Why not skiop the sea? Look up at the sky! The sky is blue. Why mention the sea?
Because the sea is a reminder that Hashem loves us Jews.
He made miracles for us at the Sea [of Reeds].

Rashi expresses 2 points that the Gemara is saying.

ורקיע לכסא הכבוד - ומכח התכלת מזכיר היושב על כסא
This is akin to his explanation in Chulin - Hashem remembers us.

ועוד נאה לישראל שיהא כסאו עליהם שנאמר ותחת רגליו וגו' דהיינו רקיע
Here Rashi adds a heretofore unknown point - That it is beneficial to Klall Yisroel to have a Hashem who loves them.


Sforno incorporates 2 aspects of the Tzizis/Ticheiles.

It reminds of our obligation as well as helps us focus on the privilege of being avdei Hashem.

וראיתם אותו וזכרתם את כל מצות ה'.
תזכרו שאתם עבדים לאל יתברך ושקבלתם מצותיו באלה ובשבועה וזה בראותם הציצית שהוא כחותם המלך בעבדיו ובזה תחדלו מתור אחרי לבבכם להשיג שרירות לבכם בעושר וכבוד אפילו בגזל:

And then later Sforno says:
למען תזכרו. למען תהיו פנוים ממחשבות הבליכם ובזה תזכרו מופתי התורה אשר בם תכירו גודל האל וחסדו